Question

已知函数f(x)=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|．
（1）指出f(x)=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|的基本性质（结论不要求证明）并作出函数f（x）的图象；
（2）关于x的不等式kf²（x）-2kf（x）+6（k-7）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）关于x的方程f²（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，求n的取值范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,函数的图象

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出函数的定义域和奇偶性、单调性及值域，并画出图象；
（2）运用参数分离，求得右边的最大值即可；
（3）由函数的值域，去掉绝对值，再令t=f（x），根据图象确定两根的情况，一个为2，另一个介于0和2之间，再由韦达定理，即可得到n的范围．

解答： 解：（1）显然f（x）定义域为{x|x≠0}，f（x）为偶函数，
当x＜-1时，f（x）=-

2

x

，递增，
当-1≤x＜0时，f（x）=-2x，递减，
当0＜x≤1时，f（x）=2x，递增，当x＞1时，f（x）=

2

x

，递减．
f（x）的值域为（0，2]．
f（x）的图象如图所示：

（2）关于x的不等式kf²（x）-2kf（x）+6（k-7）＞0恒成立，
即为k[f²（x）-2f（x）+6]＞42，即k＞

42

(f(x)-1)2+5

恒成立，
则当f（x）=1时，（f（x）-1）²+5取得最小值5，
即有k＞

42

5

；

（3）由于f（x）＞0，则关于x的方程f²（x）+m|f（x）|+n=0等价于
f²（x）+mf（x）+n=0，
由于关于x的方程f²（x）+mf（x）+n=0有6个不同解，
则令f（x）=t，
则关于t的方程t²+mt+n=0必有两解，
由图象可得，t₁=2，0＜t₂＜2，
则t₁+t₂=-m，t₁t₂=n，
即有-4＜m＜-2，0＜n＜4．
则有n的取值范围为（0，4）．

点评：本题考查绝对值函数的图象和性质，考查不等式的恒成立问题转化为求函数最值，考查数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．