Question

某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
（Ⅰ）求学生小张选修甲的概率；
（Ⅱ）记“函数f（x）=x²+ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；
（Ⅲ）求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）利用相互独立事件的概率公式及相互对立事件的概率公式列出方程求出学生小张选修甲的概率．
（II）先判断出事件A表示的实际事件，再利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求出事件A的概率；
（II）求出ξ可取的值，求出取每个值的概率值，列出分布列，利用数学期望公式求出随基本量的期望值．

解答：解：（Ⅰ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z
依题意得

x(1-y)(1-z)=0.08 xy(1-z)=0.12 1-(1-x)(1-y)(1-z)=0.88

解得

x=0.4 y=0.6 z=0.5

所以学生小张选修甲的概率为0.4
（Ⅱ）若函数f（x）=x²+ξx为R上的偶函数，则ξ=0
当ξ=0时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选．
∴P（A）=P（ξ=0）=xyz+（1-x）（1-y）（1-z）=0.4×0.5×0.6+（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）=0.24
∴事件A的概率为0.24
（Ⅲ）依题意知ξ=0，2
则ξ的分布列为

ξ	0	2
P	0.24	0.76

∴ξ的数学期望为Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52

点评：求随基本量的分布列，应该先判断出随基本量可取的值，再求出取每一个值的概率值．