Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．
（1）求证：DM∥平面PCB；
（2）求直线AD与平面PBD所成角的正弦值；
（3）求三棱锥P-MBD的体积．

Answer 1

考点：用空间向量求直线与平面的夹角,三垂线定理,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）如图所示，取PB的中点N，连接MN，CN．利用三角形的中位线定理及其梯形的性质可得四边形MNCD是平行四边形，于是MD∥NC．再利用线面平行的判定定理即可证明．
（2）如图所示，取AP的中点O，连接PO，OB．利用已知可得OA、OB、OP两两垂直．A（1，0，0），
D（-1，0，0），B(0，

3

，0)，P（0，0，1）．

DB

=(1，

3

，0)，

PB

=(0，-

3

，1)，

AD

=（-2，0，0）．设平面PBD的法向量为

n

=（x，y，z），利用

n • DB =x+ 3 y=0 n • PB =- 3 y+z=0

，可得

n

=(-3，

3

，3)．设直线AD与平面PBD所成角为θ，利用sinθ=|cos＜

n

，

AD

＞|=

| n • AD |

| n || AD |

即可得出．
（3）利用V_{三棱锥P-MBD}=V_{三棱锥B-MPD}=

1

3

•BO•S△APD即可得出．

解答： （1）证明：如图所示，取PB的中点N，连接MN，CN．
由M为PA的中点，
∴MN

∥

.

1

2

AB，
∵CD

∥

.

1

2

AB，
∴MN

∥

.

CD．
∴四边形MNCD是平行四边形，
∴MD∥NC．
又MD?平面PCB，NC?平面PCB．
∴MD∥平面PCB．
（2）解：如图所示，取AP的中点O，连接PO，OB．
∵AP=PD，∴PO⊥AD，
又侧面PAD⊥底面ABCD，
则PO⊥平面ABCD，
∵AD=AB，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形．
∴OB⊥AD，
∴OB⊥平面APD．
∴OA、OB、OP两两垂直．
∴A（1，0，0），D（-1，0，0），B(0，

3

，0)，P（0，0，1）．
∴

DB

=(1，

3

，0)，

PB

=(0，-

3

，1)，

AD

=（-2，0，0）．
设平面PBD的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • DB =x+ 3 y=0 n • PB =- 3 y+z=0

，令y=

3

，则z=3，x=-3．
∴

n

=(-3，

3

，3)．
设直线AD与平面PBD所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

n

，

AD

＞|=

| n • AD |

| n || AD |

=

6

2 9+3+9

=

21

7

．
（3）∵BO⊥平面APD，BO=

3

．
又∵S_△MPD=

1

2

S△APD=

1

2

×

1

2

(

2

)2=

1

2

．
∴V_{三棱锥P-MBD}=V_{三棱锥B-MPD}=

1

3

•BO•S△APD=

1

3

×

3

×

1

2

=

3

6

．

点评：本题综合考查了三角形的中位线定理及其梯形的性质、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理、线面面面垂直的判定与性质定理、平面的法向量、线面角、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．