【题目】已知函数f(x)=2lnx+ ﹣2lna﹣k
(1)若k=0,证明f(x)>0
(2)若f(x)≥0,求k的取值范围;并证明此时f(x)的极值存在且与a无关.
【答案】
(1)证明:若k=0,f′(x)= ﹣ = ,
x∈(0, ),f′(x)≥0,f(x)递减,
x∈[ ,+∞)时,f′(x)≤0,f(x)递增,
故f(x)min=f( )=2ln +2﹣2lna=2(1﹣ln2)>0,得证
(2)证明:若f(x)=2lnx+ ﹣2lna﹣k ≥0,
变形得2ln + ≥k ,
令 =t(t>0),得 ≥k,
g(t)= ,g′(t)= ,
令k(t)=t﹣tlnt﹣1,k′(t)=﹣lnt,
得k(t)=在(0,1]递增,在(1,+∞)递减,
故k(t)≤0,g′(t)≤0,
g(t)在(0,+∞)递减,t→+∞,g(t)→0,
故g(t)>0,k≤0,
下面证明f(x)的极值存在且与a无关,
①k=0,f′(x)= ,f(x)极小值=f( )=2ln +2﹣2lna=2(1﹣ln2)与a无关;
②k<0,f′(x)= ,(其中x1= <0,x2= >0),
故x﹣x1>0且f(x)在x2处取极小值,
f(x2)=2ln + ﹣k ,
∵x2= ,∴ = 是关于k的函数,(与a无关),
故f(x2)与a无关
【解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的最小值证明结论即可;(2)问题转化为2ln + ≥k ,令 =t(t>0),得 ≥k,令g(t)= ,根据函数的单调性证明即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减,以及对函数的极值与导数的理解,了解求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.
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【题目】已知函数是定义在上的偶函数,已知时,.
(1)画出偶函数的图像;
(2)指出函数的单调递增区间及值域;
(3)若直线与函数恰有个交点,求的取值范围.
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【题目】某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响,随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试.测试的方案:电脑模拟驾驶,以某速度匀速行驶,记录下驾驶员的“停车距离”(驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离).无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2. 表1
停车距离d(米) | (10,20] | (20,30] | (30,40] | (40,50] | (50,60] |
频数 | 26 | a | b | 8 | 2 |
表2
平均每毫升血液酒精含量x毫克 | 10 | 30 | 50 | 70 | 90 |
平均停车距离y米 | 30 | 50 | 60 | 70 | 90 |
已知表1数据的中位数估计值为26,回答以下问题.
(Ⅰ)求a,b的值,并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数;
(Ⅱ)根据最小二乘法,由表2的数据计算y关于x的回归方程 ;
(Ⅲ)该测试团队认为:驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y大于(Ⅰ)中无酒状态下的停车距离平均数的3倍,则认定驾驶员是“醉驾”.请根据(Ⅱ)中的回归方程,预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”?
(附:对于一组数据(x1 , y1),(x2 , y2),…,(xn , yn),其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 , .)
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【题目】如图半圆柱OO1的底面半径和高都是1,面ABB1A1是它的轴截面(过上下底面圆心连线OO1的平面),Q,P分别是上下底面半圆周上一点.
(1)证明:三棱锥Q﹣ABP体积VQ﹣ABP≤ ,并指出P和Q满足什么条件时有AP⊥BQ
(2)求二面角P﹣AB﹣Q平面角的取值范围,并说明理由.
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【题目】曲线C:ρ2﹣2ρcosθ﹣8=0 曲线E: (t是参数)
(1)求曲线C的普通方程,并指出它是什么曲线.
(2)当k变化时指出曲线K是什么曲线以及它恒过的定点并求曲线E截曲线C所得弦长的最小值.
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【题目】如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD为正方形,平面AED⊥平面ABCD,AB= EA= ED,EF∥BD
(I)证明:AE⊥CD
(II)在棱ED上是否存在点M,使得直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为 ?若存在,确定点M的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】有一个偶数组成的数阵排列如下:
2 4 8 14 22 32 …
6 10 16 24 34 … …
12 18 26 36 … … …
20 28 38 … … … …
30 40 … … … … …
42 … … … … … …
… … … … … … …
则第20行第4列的数为( )
A. 546 B. 540 C. 592 D. 598
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【题目】数列{an}中,若存在ak , 使得“ak>ak﹣1且ak>ak+1”成立(其中k≥2,k∈N*),则称ak为{an}的一个H值.现有如下数列:①an=1﹣2n;②an=sinn;③an= ④an=lnn﹣n,则存在H值的数列有( )个.
A.1
B.2
C.3
D.4
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