Question

19．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若点D在曲线C上，求它到直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=-3t+2}\end{array}\right.$（t为参数，t∈R）的最短距离．

Answer 1

分析 （1）把已知极坐标方程两边同时乘以ρ，结合$ρ=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}，y=ρsinθ$得答案；
（2）化直线的参数方程为普通方程，化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，结合点到直线的距离公式求得答案．

解答 解：（1）由ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．
得ρ²=2ρsinθ，即x²+y²-2y=0；
（2）由直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=-3t+2}\end{array}\right.$，得$\sqrt{3}x+y-5=0$．
化圆x²+y²-2y=0为x²+（y-1）²=1，
则圆心坐标为（0，1），
圆心到直线$\sqrt{3}x+y-5=0$的距离为d=$\frac{|1-5|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}=2$．
∴D到直线的最短距离为1．

点评 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了点到直线距离公式的应用，是基础题．