Question

3．设函数y=f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），当x≠y时，f（x）≠f（y）
（1）证明：f（0）=1；
（2）证明：对任意的x∈R都有f（x）＞0；
（3）证明：函数f（x）在R上单调递增；
（4）若f（1）=2，当x∈[-1，1]时，f（4^x）≤$\frac{f（c）}{4f（-{2}^{x+1}）}$恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，令x=1，y=0，即可求解，
（2）根据抽象函数的关系进行判断证明．
（3）设x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，结合当当x＞0时，f（x）＞1，可得f（x₁）＞f（x₂），进而根据函数单调性的定义，可得函数f（x）在R上的单调性．
（4）利用函数的单调性以及抽象函数的关系，转化为函数的最值问题进行求解即可．

解答 解：（1）令x=1，y=0，则f（0+1）=f（0）f（1）=f（1），
∵f（1）≠0，
∴f（0）=1．
（2）∵当x＞0时，f（x）＞1
∴当x＜0，则-x＞0，
得f（x-x）=f（x）f（-x）=f（0）=1，
得$f（x）=\frac{1}{f（-x）}＞0$，
故对于任意x∈R，都有f（x）＞0，
（3）∵当x＞0时，f（x）＞1
∴设x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，
则x₁-x₂＞0，∴f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）f（x₂）＞f（x₂），
∴函数f（x）在R上是单调递增函数．
（4）若f（1）=2，则f（1）f（1）=f（1+1）=f（2），
即f（2）=2×2=4，
则不等式f（4^x）≤$\frac{f（c）}{4f（-{2}^{x+1}）}$恒成立等价为f（4^x）•4•f（-2^x+1）≤f（c）恒成立，
即f（4^x）•f（2）•f（-2^x+1）≤f（c）
则f（4^x+2-2^x+1）≤f（c）
∵函数f（x）单调递增，
∴不等式等价为4^x+2-2^x+1≤c，
即（2^x）²+2-2•2^x≤c，
设t=2^x，∵x∈[-1，1]，
∴t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
则y=g（t）=t²-2t+2=（t-1）²+1，
∵t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
∴当t=2时，函数y=g（t）取得最大值g（2）=2，
则c≥2，
即实数c的取值范围是[2，+∞）．

点评 本题考查的是函数的单调性证明问题．抽象函数的单调性的判定，以及赋值法的应用，在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、转化法以及赋值法等知识．考查学生的运算和推理能力，综合性较强．