Question

已知椭圆C₁的方程为

x2

4

+y2=1，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点．
（1）求双曲线C₂的方程；
（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C₁交于不同的两点A、B，且满足|OA|²+|OB|²＞|AB|²，（其中O为原点），求l斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出双曲线的标准方程，根据根据椭圆方程求得双曲线的左右顶点和焦点，进而求得双曲线方程中的a和b，则双曲线方程可得．
（2）将直线代入双曲线方程消去y，进而根据判别式求得k的范围，设出A，B的坐标，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，由|OA|²+|OB|²＞|AB|²，可得∠AOB为锐角，从而有

OA

•

OB

＞0求得关于k的不等式，求得k的范围，最后综合求得答案．

解答：解：（1）∵椭圆C₁的方程为

x2

4

+y2=1左、右顶点分别为（2，0），（-2，0），左、右焦点分别为（-

3

，0），(

3

，0)
可设C₂的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，则a²=4-1=3，再由a²+b²=c²得b²=1．
故C₂的方程为

x2

3

-y2=1．
（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx-2，A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），
联立

y=kx-2 x2 4 +y2=1

，消去y，整理得：(k2+

1

4

)x2+4kx+3=0
∴x1+x2=-

4k

k2+ 1 4

，x1•x2=

3

k2+ 1 4

一会
由△=(4k)2-4(k+

1

4

)×3=4k2-3＞0得：k＜

3

2

或k＞-

3

2

∵|OA|²+|OB|²＞|AB|²，
∴0°＜∠AOB＜90°
∴cos∠AOB＞0
∴

OA

•

OB

＞0
即

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞0
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=

3k2

k2+ 1 4

+

-8k2

k2+ 1 4

+4=

-k2+1

k2+ 1 4

∵

3

k2+ 1 4

+

-k2+1

k2+ 1 4

＞0，即k²＜4
∴-2＜k＜2
故由①、②得-2＜k＜-

3

2

或

3

2

＜k＜2

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，是高考的热点．