Question

已知曲线C：y=x³+2和点P（1，3），则过点P且与曲线C相切的直线方程为

3x-y=0或3x-4y+9=0

．

Answer 1

分析：设切点为（x₀，y₀），则y₀=x₀³+2，由于直线l经过P，由斜率公式即得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x₀处的切线斜率，便可建立关于x₀的方程．求得x₀，从而求得过点P且与曲线C相切的直线方程．

解答：解：设直线与曲线切于点（x₀，y₀）（x₀≠0），则k=

y0-3

x0-1

，
∵y₀=x₀³+2，
∴

y0-3

x0-1

=x₀²+x₀+1，
又∵k=y′|_x=x0=3x₀²，
∴x₀²+x₀+1=3x₀²，∴2x₀²-x₀-1=0，
∵x₀=1，或x₀=-

1

2

，∴k=3x₀²=3或

3

4

，
故直线l的方程3x-y=0或3x-4y+9=0．
故答案为3：x-y=0或3x-4y+9=0．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是一道综合题．