Question

设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题：
①若m∥β，m∥α，α∩β=n，则m∥n；
②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；
③若α⊥β，m⊥β，则m∥α；
④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β．真命题的有________．（填序号）

Answer 1

①④
分析：根据题意，依次分析选项，①利用直线与平面的平行的性质与判定可以判断；②用长方体中的线线，线面，面面关系验证；③用长方体中的线线，线面，面面关系验证；④由用长方体中的线线，线面，面面关系验证得到结论．
解答：对于①，过m作平面γ∩α=a，∵m∥α，∴m∥a，同理过m作平面γ′∩β=b，则m∥b，∴a∥b，∴a∥β，∵α∩β=n，∴a∥n，∵m∥a，∴m∥n，故①正确；
对于②，用长方体验证．如图，设A₁B₁为m，平面AC为α，平面A₁B为β，显然有m∥α，α⊥β，但得不到m⊥β，不正确；
对于③，可设A₁A为m，平面AC为β，平面A₁D或平面B₁C为α，满足选项C的条件且得到m∥α或m?α，故③不正确；
对于④，可设A₁B₁为m，平面A₁D为α，A₁A为n，平面AC为β，满足选项D的条件且得到α⊥β，故④正确；
综上知，真命题有①④
故答案为：①④
点评：本题考查空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系，着重考查线面垂直与线面平行的判定与性质及面面平行与垂直判定与性质，属于中档题．