Question

已知函数．
（1）求的单调区间和极值；
（2）设，，且，证明：.

Answer 1

（1）单调增区间是，单调减区间是；极小值，无极大值。（2）详见解析

解析试题分析：（1）先求导，再令导数大于0的函数的增区间，令导数小于0得函数的减区间，根据函数的单调性可得函数的极值。（2）即证，不妨设，问题可转化为，令，令，用导数求其最值，证其最大值小于0即可。
试题解析：（1）定义域为

令则 ∴；令则 ∴
∴的单调增区间是，单调减区间是
_极小值，无极大值
（2）证明：不妨设，



两边同除以得，
令，则，即证：
令

令，
， 在上单调递减，所以
即，即恒成立
∴在上是减函数，所以
∴得证
所以成立
考点：利用导数研究函数的单调性和极值最值问题。