Question

8．已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x²．
（1）当a=$\frac{1}{4}$时，求不等式f（x）＞g（x）的解集；
（2）设a＞0，且当x∈[1，+∞）时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=$\frac{1}{4}$时，不等式f（x）＞g（x）化为|x-$\frac{1}{4}$|＞x²得$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{4}}\\{x-\frac{1}{4}＞{x}^{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜\frac{1}{4}}\\{-x+\frac{1}{4}＞{x}^{2}}\end{array}\right.$，解得即可，
（2）根据绝对值的几何意义可得|x-a|≥|x|-|a|=x-a且|x-a|≥a-x，再根据二次函数的性质即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）当a=$\frac{1}{4}$时，不等式f（x）＞g（x）化为|x-$\frac{1}{4}$|＞x²，
将上式化为不等式组，得$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{4}}\\{x-\frac{1}{4}＞{x}^{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜\frac{1}{4}}\\{-x+\frac{1}{4}＞{x}^{2}}\end{array}\right.$
解得-$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$＜x＜$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，
所以原不等式的解集为（-$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$）
（2）不等式f（x）≤g（x），化为|x-a|≤x²，
因为a＞0，且当x∈[1，+∞），所以|x-a|≥|x|-|a|=x-a且|x-a|≥a-x，
从而有x²≥x-a且x²≥a-x，
即对于a＞0，且当x∈[1，+∞），a≥x-x²且a≤x²+x成立，
因此0＜a≤2．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立的问题，属于中档题．