Question

设函数f(x)=x3-

9

2

x2+6x-a，
（1）对于任意实数x，f′（x）≥m恒成立，求m的最大值；
（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数f（x）的导数，然后求出f'（x）的最小值，使f'（x）_min≥m成立即可．
（2）若欲使方程f（x）=0有且仅有一个实根，只需求出函数的极大值小于零，或求出函数的极小值大于零即可．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
因为x∈（-∞，+∞），f′（x）≥m，
即3x²-9x+（6-m）≥0恒成立，
所以△=81-12（6-m）≤0，
得m≤-

3

4

，即m的最大值为-

3

4

（2）因为当x＜1时，f′（x）＞0；
当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0；
所以当x=1时，f（x）取极大值f(1)=

5

2

-a；
当x=2时，f（x）取极小值f（2）=2-a；
故当f（2）＞0或f（1）＜0时，
方程f（x）=0仅有一个实根、解得a＜2或a＞

5

2

点评：本题主要考查了一元二次函数恒成立问题，以及函数与方程的思想，属于基础题．