Question

已知二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2-x），又f（0）=3，f（2）=1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[0，m]上的最大值为3，最小值为1，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意，二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2-x），对称轴是x=2，可设二次函数为y=a（x-2）²+b，又f（0）=3，f（2）=1，由此得到关于两个参数a，b的方程组，解出a，b的值，求得二次函数的解析式；
（2）若f（x）在[0，m]上的最大值为3，最小值为1，求出1，3对应的自变量，再由二次函数的性质判断出参数的取值范围

解答：解：∵二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2-x），
∴其对称轴是x=2，可设其方程为y=a（x-2）²+b
∵f（0）=3，f（2）=1
∴

4a+b=3 b=1

解得a=

1

2

，b=1
函数f（x）的解析式是y=

1

2

（x-2）²+1
（2）∵f（0）=3，f（2）=1，f（x）在[0，m]上的最大值为3，最小值为1，
∴m≥2
又f（4）=3，由二次函数的性质知，m≤4
综上得2≤m≤4
答：函数f（x）的解析式是y=

1

2

（x-2）²+1；2≤m≤4

点评：本题考查二次函数的在闭区间上的最值，解题的关键是用待定系数法求出函数的解析式，及熟练掌握二次函数的性质，判断出参数的取值范围，本题是二次函数考查的典型题．