Question

9．如果关于x的不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和（$\frac{1}{b}，\frac{1}{a}$），那么称这两个不等式为“对偶不等式”．如果关于x的两个不等式x²+（2m+10）x+2＜0与2x²+mx+1＜0为“对偶不等式”，则实数m=-10．

Answer 1

分析 根据不等式和方程之间的关系进行求解即可．

解答 解：∵不等式x²+（2m+10）x+2＜0与2x²+mx+1＜0为“对偶不等式”，
∴x=a，和x=b是方程x²+（2m+10）x+2=0的两个根，
则a+b=-2m-10，ab=2，
x=$\frac{1}{b}$，和x=$\frac{1}{a}$是方程2x²+mx+1=0的两个根，
则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=-$\frac{m}{2}$，$\frac{1}{a}$•$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{ab}$=-$\frac{m}{2}$，
即$\frac{-2m-10}{2}$=-$\frac{m}{2}$，
解得m=-10，
故答案为：-10

点评 本题主要考查一元二次不等式和一元二次方程之间的应用，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．