Question

已知两点P(-2,2)、Q(0,2)以及一条直线l:y=x,设长为的线段AB在直线l上移动,求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.

Answer 1

解:∵线段AB在直线y=x上移动,且|AB|=,

∴可设点A(a,a)、B(a+1,a+1).

∴直线PA的方程为y-2=(x+2)(a≠-2),                                    ①

直线QB的方程为y-2=x(a≠-1),                                           ②

设直线PA与QB的交点M(x,y).

由②式可得a=,代入①得

x²-y²+2x-2y+8=0,

∴所求轨迹方程为x²-y²+2x-2y+8=0.                                             ③

注意到直线PA与QB的交点不一定存在,当a=0时,=,故PA、QB平行.当a≠0时，PA与QB相交,最后还应补充当a=-2或a=-1时,

直线PA与QB的交点也满足③.

∴所求轨迹方程为x²-y²+2x-2y+8=0.