Question

已知函数的图像是自原点出发的一条折线，当时，该图像是斜率为的线段（其中正常数），设数列由定义.
Ⅰ.求、和的表达式；
Ⅱ.求的表达式，并写出其定义域；
Ⅲ.证明：的图像与的图像没有横坐标大于1的交点.

Answer 1

答案见解析

Ⅰ.解：依题意，又由，当时，函数的图像是斜率为的线段，故由，得
又由，当时，函数的图像是斜率为的线段，故由，即得 
记由函数图像中第段线段的斜率为，故得
又；所以
由此知数列为等比数列，其首项为1，公比为因得
即 
Ⅱ. 解：当，从Ⅰ可知当时，
当时，即当时，由Ⅰ可知

为求函数的定义域，须对进行讨论.
当时，；
当时，也趋向于无穷大.
综上，当时，的定义域为；
当时，的定义域为.
Ⅲ. 证法一：首先证明当，时，恒有成立.
用数学归纳法证明：
（ⅰ）由Ⅱ知当时,在上,
所以成立
（ⅱ）假设时在上恒有成立.
可得
在上,
所以
也成立.
由(ⅰ)与(ⅱ)知,对所有自然数在上都有成立.
即 时,恒有.
其次，当,仿上述证明,可知当时,恒有成立.
故函数的图像与的图像没有横坐标大于1的交点.
证法二:首先证明当,时,恒有成立.
对任意的存在,使，此时有

所以
又所以，
所以，即有成立.
其次，当，仿上述证明，可知当时，恒有成立.
故函数的图像与的图像没有横坐标大于1的交点.