Question

已知常数a＞0,在矩形ABCD中，AB=4,BC=4a,O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且==,P为GE与OF的交点(如图).问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在,请说明理由.

 

Answer 1

剖析：根据题设条件首先求出P点坐标满足的方程，据此可判断是否存在两点，使得点P到两定点距离的和为定值.

解：按题意，有A(-2,0),B(2,0)，C(2,4a),D(-2,4a).

    设===k(0≤k≤1),由此有E(2,4ak),F(2-4k,4a),G(-2,4a-4ak).

    直线OF的方程为2ax+(2k-1)y=0.                   ①

    直线GE的方程为-a(2k-1)x+y-2a=0.              ②

    由①②消去参数k,得点P(x,y)满足方程2a²x²+y²-2ay=0.

    整理得+=1.

    当a²=时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.

    当a²≠时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.

    当a²＜时，点P到椭圆两个焦点(-,a),(,a)的距离之和为定值2.

    当a²＞时，点P到椭圆两个焦点(0,a-),(0,a+)的距离之和为定值2a.

讲评：本题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.在解题过程中蕴涵着方程思想、分类讨论思想和构造法.