Question

4．设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若S_n=$\frac{n}{m}，{S_m}=\frac{m}{n}（{m≠n}）$，则S_m+n的取值范围是（4，+∞）．

Answer 1

分析 首先设出等差数列的前n项和S_n=An²+Bn，由已知S_n=$\frac{n}{m}，{S_m}=\frac{m}{n}（{m≠n}）$，列式求出A，B，代入S_m+n=$\frac{（m+n）^{2}}{mn}$，利用基本不等式得到S_n+m的范围，则答案可求．

解答 解：∵{a_n}是等差数列，
∴设S_n=An²+Bn，
∵S_n=$\frac{n}{m}，{S_m}=\frac{m}{n}（{m≠n}）$，
∴An²+Bn=$\frac{n}{m}$，Am²+Bm=$\frac{m}{n}$，
故B=0，A=$\frac{1}{mn}$．
∴S_m+n=$\frac{（m+n）^{2}}{mn}$＞$\frac{4mn}{mn}$=4，
∴S_m+n的取值范围是（4，+∞）．
故答案为：（4，+∞）．

点评 本题考查了等差数列的前n项和，解答此题的关键是明确等差数列前n项和的形式，是基础题．