【题目】已知函数,,,令.
(1)当时,求函数的单调区间及极值;
(2)若关于的不等式恒成立,求整数的最小值.
【答案】(1)答案见解析;(2)2.
【解析】
(1)由题意可得.利用导函数研究函数的性质可得的单调递增区间为,单调递减区间为.,无极小值.
(2)法一:令,则.由导函数研究函数的最值可得的最大值为.据此计算可得整数的最小值为2.
法二:原问题等价于恒成立,令,则,由导函数研究函数的性质可得整数的最小值为2.
(1),
所以.
令得;
由得,所以的单调递增区间为.
由得,所以的单调递减区间为.
所以函数,无极小值.
(2)法一:令 .
所以
.
当时,因为,所以所以在上是递增函数,
又因为.
所以关于的不等式不能恒成立.
当时, .令得,
所以当时,;
当时,,
因此函数在是增函数,在是减函数.
故函数的最大值为.
令,因为,,
又因为在上是减函数,所以当时,.
所以整数的最小值为2.
法二:由恒成立知恒成立,
令,则,
令,因为,
,则为增函数.
故存在,使,即,
当时,,为增函数,
当时,,为减函数.
所以,
而,所以,
所以整数的最小值为2.
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【题目】在直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为,直线的参数方程为(为参数),直线和圆交于,两点.
(1)求圆心的极坐标;
(2)直线与轴的交点为,求.
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【题目】已知椭圆的两个焦点分别为, ,离心率为,且过点.
()求椭圆的标准方程.
()、、、是椭圆上的四个不同的点,两条都不和轴垂直的直线和分别过点, ,且这条直线互相垂直,求证: 为定值.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线的参数方程为:(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)设曲线与直线交于两点,若点的坐标为,求.
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【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线交于,两点,且设定点,求的值.
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【题目】某数学小组从医院和气象局获得2018年1月至6月份每月20的昼夜温差(℃,)和患感冒人数(/人)的数据,画出如图的折线图.
(1)建立关于的回归方程(精确到0.01),预测2019年1月至6月份昼夜温差为41时患感冒的人数(精确到整数);
(2)求与的相关系数,并说明与的相关性的强弱(若,则认为与具有较强的相关性).
参考数据:,,,.
参考公式:
相关系数
回归直线方程,,.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为,若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB的面积.
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