Question

3．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（I） 已知二次函数f（x）=ax²+2bx-3a（a，b∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（II） 设f（x）=2^x+m-1是定义在[-1，2]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；
（III） 设f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3，若f（x）不是定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I） 由已知中“局部奇函数”的定义，结合函数f（x）=ax²+2bx-3a，可得结论；
（II） 若f（x）=2^x+m-1是定义在[-1，2]上的“局部奇函数”，则2^-x+2^x+2m-2=0有解，进而可得实数m的取值范围；
（III） 若f（x）是定义域R上的“局部奇函数”，则f（-x）+f（x）=0有解，求出满足条件的m的取值范围后，再求其补集可得答案．

解答 解：（I）f（-x）+f（x）=0，则2ax²-6a=0得到$x=±\sqrt{3}$有解，
所以f（x）为局部奇函数．…（4分）
（II）由题可知2^-x+2^x+2m-2=0有解，$2-2m={2^x}+\frac{1}{2^x}$，…（6分）
设${2^x}=t∈[\frac{1}{2}，4]$，$t+\frac{1}{t}∈[2，\frac{17}{4}]$，所以$-\frac{17}{4}≤2m-2≤-2$，
所以$-\frac{9}{8}≤m≤0$．…8分
（III）若f（x）为局部奇函数，则f（-x）+f（x）=0有解，
得4^x-m•2^x+1+m²-3+4^-x-m•2^-x+1+m²-3=0，
令2^x+2^-x=t≥2，
从而F（t）=t²-2mt+2m²-8=0在[2，+∞）有解．…（10分）
①F（2）≤0，即$1-\sqrt{3}≤m≤1+\sqrt{3}$；
②$\left\{{\begin{array}{l}{F（2）＞0}\\{△≥0}\\{m＞2}\end{array}}\right.$，即$1+\sqrt{3}≤m≤2\sqrt{2}$，
综上1-$\sqrt{3}$$≤m≤2\sqrt{2}$，…（11分）
故若f（x）不为局部奇函数时$m＜1-\sqrt{3}或m＞2\sqrt{2}$．…（12分）

点评 本题考查的知识点是抽象函数及其应用，正确理解新定义“局部奇函数”的定义，是解答的关键．