分析 (Ⅰ)根据线面垂直的性质证明BM⊥平面ADM即可证明AD⊥BM
(Ⅱ)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法建立二面角的夹角关系,解方程即可.
解答 (1)证明:∵长方形ABCD中,AB=2$\sqrt{2}$,AD=$\sqrt{2}$,M为DC的中点,
∴AM=BM=2,∴BM⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,BM?平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD?平面ADM∴AD⊥BM;
(2)建立如图所示的直角坐标系,设$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DB}$,
则平面AMD的一个法向量$\overrightarrow{n}$=(0,1,0),$\overrightarrow{ME}$=$\overrightarrow{MD}$+$λ\overrightarrow{DB}$=(1-λ,2λ,1-λ),$\overrightarrow{AM}$=(-2,0,0),设平面AME的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=-2x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ME}=(1-λ)x+2λy+(1-λ)z=0}\end{array}\right.$,
取y=1,得x=0,z=$\frac{2λ}{1-λ}$,
则$\overrightarrow{m}$=(0,1,$\frac{2λ}{1-λ}$),
∵cos<$\overrightarrow{m}$,$\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,∴求得$λ=\frac{1}{2}$,
故E为BD的中点.
点评 本题主要考查空间线面垂直性质以及二面角的求解,建立坐标系,求出平面的法向量,利用向量法是解决本题的关键.综合考查学生的运算和推理能力.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | a,b,c中至多有一个偶数 | B. | a,b,c都是奇数 | ||
C. | a,b,c至多有一个奇数 | D. | a,b,c都是偶数 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $(0,\frac{1}{2})$ | B. | (0,+∞) | C. | $(\frac{1}{2},+∞)$ | D. | $(-∞,\frac{1}{2})$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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