Question

5．如图，已知长方形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM
（Ⅰ）求证：AD⊥BM
（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E-AM-D的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的性质证明BM⊥平面ADM即可证明AD⊥BM
（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可．

解答 （1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，M为DC的中点，
∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD?平面ADM∴AD⊥BM；            
（2）建立如图所示的直角坐标系，设$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DB}$，
则平面AMD的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），$\overrightarrow{ME}$=$\overrightarrow{MD}$+$λ\overrightarrow{DB}$=（1-λ，2λ，1-λ），$\overrightarrow{AM}$=（-2，0，0），设平面AME的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=-2x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ME}=（1-λ）x+2λy+（1-λ）z=0}\end{array}\right.$，
 取y=1，得x=0，z=$\frac{2λ}{1-λ}$，
则$\overrightarrow{m}$=（0，1，$\frac{2λ}{1-λ}$），
∵cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴求得$λ=\frac{1}{2}$，
故E为BD的中点．

点评 本题主要考查空间线面垂直性质以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．