Question

（2013•许昌二模）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C的参数方程为

x=1+2cosα y=-1+2sinα

（α为参数），点Q的极坐标为（2

2

，

7

4

π）．
（Ⅰ）化圆C的参数方程为极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l过点Q且与圆C交于M，N两点，求当|MN|最小时，直线l的直角坐标方程．

Answer 1

分析：（I）先消去参数得出圆C的直角坐标方程，再利用x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ．即可得出圆C的极坐标方程；
（II）先将点Q的极坐标化成直角坐标为，得出其在圆C内．从而当l⊥CQ时，|MN|最小，再利用圆心C（1，-1），及垂直关系得出直线l的斜率，从而得到直线L的方程．

解答：解：（I）圆C的直角坐标方程为：x²+y²-2x+2y-2=0．
又x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ．
∴圆C的极坐标方程可化为：ρ²-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0，
（II）∵点Q的极坐标为（2

2

，

7

4

π）．
∴点Q的直角坐标为（2，-2），其在圆C内．
从而当l⊥CQ时，|MN|最小，又圆心C（1，-1），
∴k_CQ=

-2-(-1)

2-1

=-1，
∴k_l=1，
所以直线L的方程为：y+2=x-2．即x-y-4=0．

点评：本题考查极坐标和直角坐标的互化，直线与圆的位置关系，转化的数学思想的应用，是中档题．