Question

【题目】有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内．
（1）共有几种放法？
（2）恰有1个空盒，有几种放法？
（3）恰有2个盒子不放球，有几种放法？

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意，4个不同的球，4个不同的盒子，

每个小球有4种放法，则4个小球共有4×4×4×4=44=256种放法

（2）解：根据题意，恰有1个空盒，即将4个小球放入3个小盒中，且三个盒子都不空；

先从4个小球中取2个放在一起，有 =6种不同的取法，

再把取出的两个小球与另外2个小球看作三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有 =24种不同的放法．

根据分步乘法计数原理，不同的放法共有6×24=144种

（3）解：根据题意，恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，

有两类放法；第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，

先把小球分成2组，有C43=4种分组方法，

再放到2个盒中有A42=12种放法，

则此时有4×12=48种放法；

第二类，2个盒子中各放2个小球，

先把小球分成2组，有 =3种分组方法，

再放到2个盒中有A42=12种放法，

则此时有3×12=36种放法；

故恰有2个盒子不放球的方法共有48+36=84种

【解析】（1）根据题意，分析可得4个不同的球，每个小球有4种放法，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，恰有1个空盒，即将4个小球放入3个小盒中，且三个盒子都不空；分2步进行分析：先从4个小球中取2个放在一起，看成一个整体，再将其与另外2个小球看作三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，分2种情况讨论：①、1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，②2个盒子中各放2个小球，每种情况下先分组，放进其中2个盒子中，由分步计数原理可得每种情况下的放法数目，由分类计数原理计算可得答案．