Question

（2012•许昌三模）设函数，f（x）=

1 1-x ，x∈(-∞，0] x3-3x+1，x∈(0，+∞)

，若方程f（x）-m=0有且仅有两个实数根，则实数m的取值范围是（　　）

A．-1＜m≤1

B．-1＜m＜0或m=1

C．-1＜m≤0或m=1

D．-1＜m≤0

Answer 1

分析：由题意可得，函数y=f（x）的图象和直线 y=m有2个交点．利用导数确定函数f（x）的单调性以及值域，数形结合求得实数m的取值范围．

解答：解：由题意可得，函数y=f（x）的图象和直线 y=m有2个交点．
当x≤0时，f（x）=

1

1-x

 是增函数，且 0＜f（x）≤1．
当x＞0时，f（x）=x³-3x+1，令 f′（x）=3 x²-3=0，可得x=1． 由于 f′（x）在（0，1）上小于0，在（1，+∞）上大于0，
故f（x） 在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，故 f（x）的最小值为 f（1）=-1，当x趋于+∞时，f（x）趋于+∞．
如图所示：
故m=1，或-1＜m≤0，
故选C．

点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．