Question

若函数f_A（x）的定义域为A=[a，b），且f_A（x）=（

x

a

+

b

x

-1）²-

2b

a

+1，其中a、b为任意正实数，且a＜b．
（1）当A=[4，7）时，研究f_A（x）的单调性（不必证明）；
（2）写出f_A（x）的单调区间（不必证明），并求函数f_A（x）的最小值、最大值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）A=[4，7）时，根据

x

4

+

7

x

≥

7

，得出f_A（x）的增减区间是什么；
（2）由（1）归纳得出f_A（x）在x∈[a，b）上的增减性以及最值是什么．

解答： 解：（1）当A=[4，7）时，f_A（x）=(

x

4

+

7

x

-1)2-

2×7

4

+1
∵

x

4

+

7

x

≥

7

，当且仅当x=2

7

时“=”成立，
∴当x∈[4，2

7

]时f_A（x）是减函数，
当x∈[2

7

，7）时f_A（x）是增函数；
（2）f_A（x）=(

x

a

+

b

x

-1)2-

2b

a

+1在x∈[a，

ab

]上f_A（x）是减函数，
在x∈[

ab

，b）上f_A（x）是增函数；
∴当x=

ab

时f_A（x）有最小值为(2

b a

-1)2-

2b

a

+1=

2b

a

-4

b a

+2=2(

b a

-1)2，
当x=a时f_A（x）有最大值为(

b

a

)2-

2b

a

+1=(

b

a

-1)2．

点评：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题以及求函数最值的问题，是中档题．