Question

【题目】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c． （Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c= ，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0 已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，
即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC
2cosCsinC=sinC
∴cosC= ，
∴C= ；
（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab ，
∴（a+b）2﹣3ab=7，
∵S= absinC= ab= ，
∴ab=6，
∴（a+b）2﹣18=7，
∴a+b=5，
∴△ABC的周长为5+ ．
【解析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．