Question

8．某车间生产的10件产品中有3件次品，7件合格品，现从10件产品中随意抽取5件．
（1）其中恰有2件次品的抽法有多少种？
（2）其中至少有2件次品的抽法有多少种？
（3）其中至多有2件次品的抽法有多少种？

Answer 1

分析 （1）分2步进行分析：1、在3件次品中任取2件，2、在7件合格品中任取3件，由组合数公式求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；
（2）分2种情况讨论：1、取出的5件产品中有2件次品，2、取出的5件产品中有3件次品，利用分步计数原理计算出每一种情况下的抽取方法数目，进而由分类计数原理将其相加即可得答案；
（3）根据题意，分3种情况讨论：1、取出的5件产品中有2件次品，2、取出的5件产品中有1件次品，3、取出的5件产品中没有次品，在7件合格品中任取5件即可，利用分步计数原理计算出每一种情况下的抽取方法数目，进而由分类计数原理将其相加即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，分2步进行分析：
1、在3件次品中任取2件，有C₃²=3种取法，
2、在7件合格品中任取3件，有C₇³=35种取法，
则恰有2件次品的抽法有3×35=105种；
（2）根据题意，分2种情况讨论：
1、取出的5件产品中有2件次品，
需要在3件次品中任取2件，在7件合格品中任取3件，则取出的5件产品中有2件次品的情况有C₃²•C₇³=105种，
2、取出的5件产品中有3件次品，即将3件次品全部取出，有1种情况，
则至少有2件次品的抽法有105+1=106种；
（3）根据题意，分3种情况讨论：
1、取出的5件产品中有2件次品，
需要在3件次品中任取2件，在7件合格品中任取3件，则取出的5件产品中有2件次品的情况有C₃²•C₇³=105种，
2、取出的5件产品中有1件次品，
需要在3件次品中任取1件，在7件合格品中任取4件，则取出的5件产品中有2件次品的情况有C₃¹•C₇⁴=105种，
3、取出的5件产品中没有次品，在7件合格品中任取5件即可，有C₇⁵=21种情况，
则至多有2件次品的抽法有105+105+21=231种．

点评 本题考查排列、组合的运用，解题时要理解“至多”、“至少”的含义，从而分类讨论．