Question

【题目】已知椭圆C：(a>b>0)的焦点F与抛物线E：y2＝4x的焦点重合，直线x－y＋＝0与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．

(Ⅰ)直线x＝1与椭圆交于不同的两点M，N，椭圆C的左焦点F1，求△F1MN的内切圆的面积；

(Ⅱ)直线l与抛物线E交于不同两点A，B，直线l′与抛物线E交于不同两点C，D，直线l与直线l′交于点M，过焦点F分别作l与l′的平行线交抛物线E于P，Q，G，H四点．证明：

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析.

【解析】试题分析：(Ⅰ)利用条件得椭圆方程，将x＝1代入椭圆得M，N坐标，求出△F1MN的周长和面积，进而得内切圆半径；

(Ⅱ)设出直线方程与椭圆联立，利用韦达定理结合弦长公式表示弦长，进而化简运算即可证明.

试题解析：

(Ⅰ) 依题意，得c＝1，e＝＝，

即＝，∴a＝2，∴b＝，∴所求椭圆C的方程为＋＝1.

直线l的方程为x＝1，得M，N，

设△F1MN的内切圆的半径为R，

则△F1MN的周长＝4a＝8，S△F1MN＝ (|MN|＋|F1M|＋|F1N|)R＝4R.

又因为S△F1MN＝3＝4R，∴R＝，所求内切圆的面积为π.

(Ⅱ)设直线l和l′的方程分别为x＝k1y＋m1，x＝k2y＋m2，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，

由方程组得

y2－4k1y－4m1＝0　①

方程①的判别式Δ>0，得4k12＋4m1>0.

由①得y1＋y2＝4k1，y1y2＝－4m1，

由方程组得

y2－4k2y－4m2＝0　②

方程②的判别式Δ>0，得4k22＋4m2>0.

由②得y3＋y4＝4k2，y3y4＝－4m2.

联立直线l与直线l′的方程可得：M点坐标为.

因为|MA|·|MB|＝(1＋k12)，代入计算得，

|MA|·|MB|＝·|(m2－m1)2＋4k1k2(m1＋m2)－4(m1k22＋m2k12)|.

同理可得

|MC|·|MD|＝(1＋k22)＝

·.

因此＝.

由于PQ，HG分别与直线l和直线l′平行，故可设其方程分别为x＝k1y＋1，x＝k2y＋1.

由方程组得

y2－4k1y－4＝0.　③

由③得yP＋yQ＝4k1，yPyQ＝－4，

因此|PQ|＝xP＋xQ＋p＝k1(yP＋yQ)＋4＝4(1＋k12)．

同理可得|HG|＝xH＋xG＋p＝k1(yH＋yG)＋4＝4(1＋k22)．

故＝.

所以＝.