Question

（本小题满分10分）

如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G。

（1）求证：圆心O在直线AD上；

（2）求证：点C是线段GD的中点。

 

Answer 1

【答案】

（1） 

又△ABC是等腰三角形，所以AD是∠CAB的角分线

∴圆心O在直线AD上。（2））连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径， ∴∠DFH=90°，∴∠FDH+∠FHD=90°，又∠G+∠FHD=90°，∴∠FDH=∠G，又⊙O与AC相切于点F ，∴∠AFH=∠GCF=∠FHD  ∴∠GCF=∠G，∴CG=CF=CD，∴点C是线段GD的中点。

【解析】

试题分析：（I）证明：

 

又△ABC是等腰三角形，所以AD是∠CAB的角分线

∴圆心O在直线AD上。……………5分

（II）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，

∴∠DFH=90°，∴∠FDH+∠FHD=90°

又∠G+∠FHD=90°，∴∠FDH=∠G

又⊙O与AC相切于点F 

∴∠AFH=∠GCF=∠FHD  ∴∠GCF=∠G

∴CG=CF=CD

∴点C是线段GD的中点。   ………………10分

考点：圆的切线的性质定理证明。

点评：本题利用了切线的性质，四边形的内角和为360度及圆周角定理求解．属于基础题型。