Question

已知一个几何体的主视图与左视图均为边长为2的正三角形，其俯视图是边长为2的正方形，则此几何体的内切球的表面积为（　　）

• A、12π
• B、

  25

  3

  π
• C、

  8

  3

  π
• D、

  4

  3

  π

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：三视图复原的几何体是正四棱锥，求出底面面积，正四棱锥的高，可求出体积，利用等体积求出几何体的内切球的半径，可得几何体的内切球的表面积．

解答： 解：据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等腰三角形，其底边上的高也为2的正四棱锥，
其体积V=

1

3

×4×

22-1

=

4 3

3

．
设几何体的内切球的半径为r，则

1

3

×(4+4×

1

2

×2×2)r=

4 3

3

，
∴r=

3

3

，
∴几何体的内切球的表面积为4π×（

3

3

）²=

4

3

π
故选：D．

点评：本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．