【题目】凸边形玫瑰园的个顶点各栽有1棵红玫瑰,每两棵红玫瑰之间都有一条直小路想通,这些直小路没有出现“三线共点”的情况——它们把花园分割成许多不重叠的区域(三角形、四边形、……),每块区域都栽有一棵白玫瑰(或黑玫瑰).
(1)求出玫瑰园里玫瑰总棵树的表达式.
(2)花园里能否恰有99棵玫瑰?说明理由.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)解法1:玫瑰园的直小路组成一个凸边形及其对角线,易知图中对角线有条.又由对角线无“三线共点”知,对角线在形内的交点有个.下面先求边形内的区域块数,可得.
现取掉对角线,记与其他对角线有个交点,则图形减少了块区域.记剩下的图形为.
在中取掉对角线,记在中与其他对角线(不包括)有个交点,则图形减少了块区域.记剩下的图形为.
依此类推,每次都在剩下的图形中取掉一条对角线.当取掉最后一条对角线时,其上再无与其他剩下对角线的交点,图形减少了1块区域,最后还剩下1块区域,有.求和.
从而,.
解法2:在每两顶点间连一条弧线,新增加了块弓形区域,设想每一块弓形区域移栽顶点上的红玫瑰,则玫瑰的棵树就是区域的块数.这个问题正是本刊1999年第3期数学奥林匹克高中训练题(38)中的一道题,现给出一种新的证法.
考虑与的递推关系(如图所示).
对个点的情况增加一点时,与前个点有条连线(上图中虚线),此时图中共有个对角线交点,共增加新交点个.由于每一条连线与原边形中的边或对角线有个交点时,这些交点便把分成条互不重叠的小线段,每条这样的小线段都把所在的区域一分为二,所以,连线就增加了块区域.求和
从而,
(2)通项公式可以改写成
问题转化为方程
的求解.变形,
即
因为为正整数,有.
解得.
所以,当时,玫瑰园恰有99棵玫瑰.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某高速公路服务区临时停车场按时段收费,收费标准:每辆汽车一次停车不超过1小时收费5元,超过1小时的部分每小时收费7元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人在该服务区临时停车,两人停车都不超过4小时.
(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为,停车付费多于12元的概率为,求甲停车付费恰为5元的概率;
(2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙两人停车付费之和为38元的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】给出如图所示的三幅统计图及四个命题:
①从折线图能看出世界人口的变化情况;
②2050年非洲人口将达到大约15亿;
③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多;
④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢.
其中命题正确的有( )
A.①②B.①③C.①④D.②④
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】12个朋友每周聚餐一次,每周他们分成三组,每组4人,不同组坐不同的桌子.若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子,则至少需要周____周.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某高校调查喜欢“统计”课程是否与性别有关,随机抽取了55个学生,得到统计数据如表:
喜欢 | 不喜欢 | 总计 | |
男生 | 20 | ||
女生 | 20 | ||
总计 | 30 | 55 |
(1)完成表格的数据;
(2)判断是否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢“统计”课程与性别有关?
参考公式:
0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知是自然数1,2,…,的一个排列,且满足:对任意,均有.
(1)若记为数在排列中所处位置的序号(如排列中,,,,).求证:对每一个满足题意的排列,均有成立.
(2)试求满足题意的排列的个数.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种色可供使用,则不同的染色方法种数为( )
A.240B.360C.420D.960
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了了解某省各景点在大众中的熟知度,随机对15~65岁的人群抽样了人,回答问题“某省有哪几个著名的旅游景点?”统计结果如下图表
组号 | 分组 | 回答正确 的人数 | 回答正确的人数 占本组的频率 |
第1组 | [15,25) | 0.5 | |
第2组 | [25,35) | 18 | |
第3组 | [35,45) | 0.9 | |
第4组 | [45,55) | 9 | 0.36 |
第5组 | [55,65] | 3 |
(1)分别求出的值;
(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,求第2,3,4组每组各抽取多少人?
(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人,求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com