Question

3．已知点C的坐标为（0，1），A，B是抛物线y=x²上不同于原点O的相异的两个动点，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0．
（1）求证：$\overrightarrow{AC}$∥$\overrightarrow{BC}$；
（2）若$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MB}$（λ∈R），且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{AB}$=0，试求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，可得x₁x₂=-1，根据 $\overrightarrow{AC}$=（-x₁，1-${x}_{1}^{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（-x₂，1-${x}_{2}^{2}$），即可证明$\overrightarrow{AC}$∥$\overrightarrow{BC}$；
（2）由题意知，点M是直角三角形AOB斜边上的垂足，又定点C在直线AB上，∠OMB=90°，即可求点M的轨迹方程．

解答 解：（1）设A（x₁，${x}_{1}^{2}$），B（x₂，${x}_{2}^{2}$），x₁≠0，x₂≠0，x₁≠x₂，
因为$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，所以x₁x₂+${x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}$=0，
又x₁≠0，x₂≠0，所以x₁x₂=-1．
因为 $\overrightarrow{AC}$=（-x₁，1-${x}_{1}^{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（-x₂，1-${x}_{2}^{2}$），
且（-x₁）（1-${x}_{2}^{2}$）-（-x₂）（1-${x}_{1}^{2}$）=（x₂-x₁）+x₁x₂（x₂-x₁）=（x₂-x₁）-（x₂-x₁）=0，
所以$\overrightarrow{AC}$∥$\overrightarrow{BC}$．（7分）
（2）由题意知，点M是直角三角形AOB斜边上的垂足，又定点C在直线AB上，∠OMB=90°，
所以点M在以OC为直径的圆上运动，其运动轨迹方程为x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$（y≠0）．（14分）

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查向量知识的运用，考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．