Question

14．已知sin（3π-α）=$\sqrt{2}$sin（6π+β），$\sqrt{3}$cos（-α）=-$\sqrt{2}$cos（π+β），且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得cosα和cosβ的值，再结合角的范围得答案．

解答 解：由sin（3π-α）=$\sqrt{2}$sin（6π+β），得
sinα=$\sqrt{2}$sinβ  ①，
由$\sqrt{3}$cos（-α）=-$\sqrt{2}$cos（π+β），得
$\sqrt{3}$cosα=$\sqrt{2}$cosβ  ②，
①²+②²得，sin²α+3cos²α=2，即$co{s}^{2}α=\frac{1}{2}$，∴cos$α=±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜α＜π，∴α=$\frac{π}{4}$或$α=\frac{3π}{4}$；
当α=$\frac{π}{4}$时，由$\sqrt{3}$cosα=$\sqrt{2}$cosβ，得cosβ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜β＜π，∴$β=\frac{π}{6}$．
当$α=\frac{3π}{4}$时，由$\sqrt{3}$cosα=$\sqrt{2}$cosβ，得cosβ=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜β＜π，∴$β=\frac{5π}{6}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，属于基础题．