Question

7．（1）已知函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x+a）的定义域为R，求实数a的取值范围．
（2）已知函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（ax²-2x+a）的值域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）数函数的定义得出不等式x²-2x+a＞0恒成立，可以得出△=4-4a＜0，即可求解
（2）此函数的值域为R，等价于真数ax²-2x+a能取遍一切正实数，由a=0时，显然成立，a≠0时，利用二次函数的图象性质得关于a的不等式，即可解得a的范围

解答 解：（1）解：∵函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x+a）的定义域为R
∴不等式x²-2x+a＞0恒成立，
即△=4-4a＜0，
∴a＞1，
故实数a的取值范围：a＞1；
（2）若函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（ax²-2x+a）的值域为R，故函数y=ax²-2x+a能取遍所有的正数．
当a=0时符合条件；
∵函数y=lg（ax²-2x+2）的值域为R，
∴y=ax²-2x+a图象不能够在x轴上方，
当a＞0时，应有△=4-4a²≥0，解得a≥1，或a≤-1，故a≥1，
综上知实数a的取值范围是[1，+∞）或a=0．

点评 本题考查了对数函数的定义性质，二次函数的性质，不等式的成立问题，属于中档题，关键利用二次函数性质得出△=4-4a＜0，△≥0的条件．