Question

设a>0，a≠1，解关于x的不等式

Answer 1

当0<a<1时，原不等式的解集为

  {x|－<x<－}∪{x|<x<}；

当a>1时，原不等式的解集为  {x|－∞<x<＋∞}．．

解析:

本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力．满分12分．

解法一  原不等式可写成    ．               ①        ——1分

根据指数函数性质，分为两种情形讨论：

(Ⅰ)当0<a<1时，由①式得

x⁴－2x²+a²<0，                                     ②              ——3分

由于0<a<1时，判别式

△=4－4a²>0,

所以②式等价于

③ ④

                                                 ——5分

解③式得 x<－或x>，

解④式得 －<x<．                         ——7分

所以，0<a<1时，原不等式的解集为

{x|－<x<－}∪{x|<x<}．

                                                                 ——8分

(Ⅱ) 当a>1时，由①式得

x⁴－2x²＋a²>0，                               ⑤                  ——9分

由于a>1，判别式△<0，故⑤式对任意实数x成立，即得原不等式的解集为

{x|－∞<x<＋∞}．                                                ——12分

综合得

当0<a<1时，原不等式的解集为

    {x|－<x<－}∪{x|<x<}；

当a>1时，原不等式的解集为

{x|－∞<x<＋∞}．

解法二  原不等式可写成  ．     ①                   ——1分

(Ⅰ) 当0<a<1时，由①式得

x⁴－2x²＋a²<0，                              ②                   ——3分

分解因式得  (x²－1＋)(x²－1－)<0．  ③

④ ⑤

即                              

⑥⑦

或                                           ——5分

解由④、⑤组成的不等式组得

－<x<－．

或  <x<  ．                             ——7分

由⑥、⑦组成的不等式组解集为空集；所以，0<a<1时，原不等式的解集为

{x|－<x<－}∪{x|<x<}；

                                                                ——8分

(Ⅱ) 当a>1时，由①式得

x⁴－2x²＋a²>0，                           ⑧                     ——9分

配方得  (x²－1)²＋a²－1>0，                   ⑨

对任意实数x，不等式⑨都成立，即a>1时，原不等式的解集为

{x|－∞<x<＋∞}．                                               ——12分

综合得

当0<a<1时，原不等式的解集为

  {x|－<x<－}∪{x|<x<}；

当a>1时，原不等式的解集为  {x|－∞<x<＋∞}．