考点:利用导数研究曲线上某点切线方程,函数的最值及其几何意义,导数在最大值、最小值问题中的应用
专题:导数的综合应用
分析:由题设条件:b+a2-3lna=0,设b=y,a=x,得到y=3lnx-x2;c-d+2=0,设c=x,d=y,得到y=x+2,所以(a-c)2+(b-d)2就是曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值,由此能求出(a-c)2+(b-d)2的最小值.
解答:
解:由|b+a
2-3lna|+(c-d+2)
2=0,
得b+a
2-3lna=0且c-d+2=0,
∴b+a
2-3lna=0,设b=y,a=x,
则有:y=3lnx-x
2c-d+2=0,设c=x,d=y,则有:y=x+2,
∴(a-c)
2+(b-d)
2就是曲线y=3lnx-x
2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值
对曲线y=3lnx-x
2求导:
y′(x)=
-2x,
与y=x+2平行的切线斜率k=1=
-2x,
解得:x=1或x=-
(舍)
把x=1代入y=3lnx-x
2,得:y=-1,
即切点为(1,-1)
切点到直线y=x+2的距离:
L=
=2
,
即L
2=8,(a-c)
2+(b-d)
2的最小值就是8.
故答案为:8.
点评:本题考查导数在求解函数最值中的应用,对数运算法则的应用,是中档题,解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用以及转化思想的应用.