Question

在等比数列{a_n}中，a₁＞0，n∈N^*，且a₃-a₂=8，又a₁、a₅的等比中项为16．
（1）求数列{a_n}的通公式；
（2）设b_n=log₄a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，是否存在正整数k，使得

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜k对任意n∈N^*恒成立．若存在，求出正整数k的最小值；不存在，请说理由．

Answer 1

分析：（1）利用等比数列的定义可求其公比q=

a3

a2

=2，从而可求{a_n}的通公式；
（2）依题意，可求b_n=

n+1

2

，从而可求数列{b_n}的前n项和为S_n，继而可得

1

Sn

=

4

3

（

1

n

-

1

n+3

），从而可得

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

22

9

，于是可求k_min．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公比为q，由题意a₁、a₅的等比中项为16可得a₃=16，又a₃-a₂=8，则a₂=8，
∴q=

a3

a2

=2，
∴a_n=2ⁿ⁺¹．
（2）∵b_n=log₄2ⁿ⁺¹=

n+1

2

，b_n+1=

n+2

2

，
b_n+1-b_n=

1

2

，
∴数列{b_n}是首项为1，公差为

1

2

的等差数列，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

(1+ n+1 2 )n

2

=

n(n+3)

4

，
∴

1

Sn

=

4

n(n+3)

=

4

3

（

1

n

-

1

n+3

），
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

4

3

（1-

1

4

+

1

2

-

1

5

+

1

3

-

1

6

+…+

1

n

-

1

n+3

）
=

4

3

（1+

1

2

+

1

3

-

1

n+1

-

1

n+2

-

1

n+3

）
=

4

3

×

11

6

-

4

3

×（

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+2

）
=

22

9

-

4

3

×（

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+2

）
当n=1时，

1

S1

=1＜2＜

22

9

，
当n≥2时，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

22

9

-

4

3

×（

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+2

）＜

22

9

．
故存在最小的正整数k=3，使得

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜3对任意n∈N^*恒成立．

点评：本题考查数列的求和，考查等比数列的定义及通项公式，突出考查裂项法求和，考查推理与运算能力，属于难题．