Question

已知过抛物线x²=4y的焦点，斜率为k（k＞0）的直线l交抛物线于A（x₁，y₂），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且|AB|=8．
（1）求直线l的方程；
（2）若点C（x₃，y₃）是抛物线弧AB上的一点，求△ABC面积的最大值，并求出点C的坐标．

Answer 1

分析：（1）由抛物线的方程即可得出焦点坐标，可设直线AB的方程y=kx+1，与抛物线方程联立得到根与系数的关系、利用抛物线的定义可得弦长公式，即可得出k．
（2）设与直线l平行的直线方程为y=x+m，由题意可知当该直线与抛物线相切时，该切点到直线l的距离最大，利用导数即可得出切点坐标，进而得到三角形的面积．

解答：解：（1）抛物线x²=4y的焦点（0，1），
设直线AB的方程是y=kx+1，
联立

y=kx+1 x2=4y

，整理得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，
由抛物线定义得：|AB|=y₁+y₂+2=k（x₁+x₂）+4=8，
∴k²=1，k=±1．
∵k＞0，∴k=1，直线方程为：y=x+1．
（2）设与直线l平行的直线方程为y=x+m，
由题意可知当该直线与抛物线相切时，该切点到直线l的距离最大，
y′=

1

2

x，令

1

2

x=1，解得x=2．
∴点C（2，1），点C到直线AB距离d=

2

，
(S△ABC)max=

1

2

•

2

•8=4

2

．

点评：熟练掌握抛物线的定义、标准方程及其性质、直线与抛物线的位置关系转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等是解题的关键．