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设x，y∈R， $数学公式$ ， $数学公式$ 为直角坐标平面内x轴y轴正方向上的单位向量，若 $数学公式$ =x $数学公式$ +（y+2） $数学公式$ ， $数学公式$ =x $数学公式$ +（y-2） $数学公式$ ，且| $数学公式$ |+| $数学公式$ |=8
（Ⅰ）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设曲线C上两点AB，满足（1）直线AB过点（0，3），（2）若 $数学公式$ = $数学公式$ + $数学公式$ ，则OAPB为矩形，试求AB方程．

解：（Ⅰ）令M（x，y），F₁（0，-2），F₂（0，2）
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
即| $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ |
即| $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ |=8
又∵| $\text{[math]}$ |=4=2C
∴c=2，a=4，b²=12（3分）
所求轨迹方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（6分）
（Ⅱ）由条件（2）可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在
设AB方程为y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则 $\text{[math]}$ ?（3k²+4）x²+18kx-21=0（8分）
x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁•x₂=- $\text{[math]}$
y₁•y₂=（kx₁+3）•（kx₂+3）=k²x₁•x₂+3k（x₁+x₂）+9= $\text{[math]}$
∵OAPB为矩形，∴OA⊥OB? $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0（10分）
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0得k=± $\text{[math]}$
所求直线方程为y=± $\text{[math]}$ x+3（12分）
分析：（Ⅰ）先令M（x，y），F₁（0，-2），F₂（0，2），把| $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ |转化为| $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ |，再利用| $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ |=8即可知道动点M（x，y）的满足椭圆定义，进而求出轨迹C的方程；
（Ⅱ）先把直线方程和椭圆方程联立，求出关于点A和点B的坐标的方程①，在利用OAPB为矩形转化为OA⊥OB既为 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0．把①式代入就可求直线AB的方程．
点评：本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及向量垂直问题．在研究直线和圆锥曲线问题时，通常把直线方程和圆锥曲线方程联立，找到关于二者交点坐标的方程，再代入已知条件解题．

练习册系列答案

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