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    （2012•杭州二模）已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1 (a ＞ b ＞ 0)    上任一点P到两个焦点的距离的和为2
    		3
    ，P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-
    2
    3
    ．设直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
    （Ⅰ）若
    OA
    •
    OB
    =
    4
    tan∠AOB
    （O为坐标原点），求|y1-y2|的值；
    （Ⅱ）当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在点Q，使得直线QA、QB的倾斜   角互为补角？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（I）由椭圆的定义可知：a=
    		3
    ；由P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-
    2
    3
    ，可得-
    b2
    a2
    =-
    2
    3
    ，即可得到a，b2．
    （II）假设存在一点Q（m，0），使得直线QA、QB的倾斜角互为补角，设直线l的方程为y=k（x-1）代入椭圆的方程消去y得（3k2+2）x2-6k2x+3k2-6=0，得到根与系数的关系；由直线QA、QB的倾斜角互为补角，可得kQA+kQB=0，利用斜率计算公式得出，把根与系数的关系代入解出即可．
    解答：解：（Ⅰ）由椭圆的定义知a=
    		3
    ，又-
    b2
    a2
    =-
    2
    3
    ，∴b2=2，c2=a2-b2=1．
    ∴椭圆P（x0，y0）的方程是
    x2
    3
    +
    y2
    2
    =1    ．
    ∵
    OA
    •
    OB
    =
    4
    tan∠AOB
    ，∴|
    OA
    |•|
    OB
    |cos∠AOB=
    4
    tan∠AOB
    ，
    ∴|
    OA
    |•|
    OB
    |sin∠AOB=4    ，
    ∴S△AOB=
    1
    2
    |
    OA
    |•|
    OB
    |sin∠AOB=2    ，
    又S△AOB=
    1
    2
    |y1-y2|×1    ，故|y1-y2|=4．
    （Ⅱ）假设存在一点Q（m，0），使得直线QA、QB的倾斜角互为补角，
    依题意可知直线l、QA、QB斜率存在且不为零．
    设直线l的方程为y=k（x-1）代入椭圆的方程消去y得（3k2+2）x2-6k2x+3k2-6=0，
    设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=
    6k2
    3k2+2
    ，x1•x2=
    3k2-6
    3k2+2

    ∵直线QA、QB的倾斜角互为补角，
    ∴kQA+kQB=0，∴
    y1
    x1-m
    +
    y2
    x2-m
    =0    ．
    又y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
    代入上式可得2x1x2+2m-（m+1）（x1+x2）=0，
    ∴2×
    3k2-6
    3k2+2
    +2m-(m+1)×
    6k2
    3k2+2
    =0    ，
    化为2m-6=0，解得m=3，
    ∴存在Q（3，0）使得直线QA、QB的倾斜角互为补角．
    点评：熟练掌握椭圆的定义、椭圆上一点P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-
    b2
    a2
    、直线QA、QB的倾斜角互为补角?kQA+kQB=0、直线与椭圆的方程相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式等是解题的关键．
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    （Ⅱ）若∠D′EF=
    π
    3
    ，直线D'F与平面ABCM所成角的大小为
    π
    3
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