Question

如图，四棱锥中，⊥底面，底面为梯形，，，且，点是棱上的动点.
（Ⅰ）当∥平面时，确定点在棱上的位置；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）在梯形中，由，，得，

∴．又，故为等腰直角三角形.
∴.
连接，交于点，则 
∥平面,又平面,∴.
在中，，
即时，∥平面.            6分
（Ⅱ）方法一：在等腰直角中，取中点，连结，则．∵平面⊥平面，且平面平面=，∴平面．
在平面内，过作直线于，连结，由、，得平面，故．∴就是二面角的平面角．           
在中，设，则，
，，
，
由，可知：∽，∴，
代入解得：．
在中，，∴，
．
∴二面角的余弦值为．              12分
方法二：以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系．
设，则，，，，．
设为平面的一个法向量，则，，∴，解得，∴．          
设为平面的一个法向量，则，，
又，，∴，解得
∴．
∴二面角的余弦值为．             12分

略