Question

已知函数f（x）=e^x（x²-3）
（1）讨论函数的y=f（x）的单调性；
（2）设x₁，x₂为区间[0，1]上任意两个自然数的值，证明|f（x₁）-f（x₂）|＜e．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：（1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（2）问题转化为|f（x₁）-f（x₂）|≤f（0）-f（1）=2e-3，又2e-3-e=e-3＜0，即2e-3＜e，从而证得结论．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x（x+3）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-3，
令f′（x）＜0，解得：-3＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-3），（1，+∞）递增，在（-3，1）递减；
（2）∵函数f（x）在[0，1]递减，且f（0）=-3，f（1）=-2e，
则|f（x₁）-f（x₂）|≤f（0）-f（1）=2e-3，
又2e-3-e=e-3＜0，即2e-3＜e，
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜e．

点评：本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查了不等式的证明，是一道中档题．