Question

已知sin²α+

3

sinαcosα-2cos²α=0，α∈（

π

6

，

5

12

π），求：
（1）sin（2α-

π

3

）的值；
（2）cos2α的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦

专题：三角函数的求值

分析：（1）由二倍角公式和和差角的公式变形已知式子可得sin（2α-

π

3

）=

3

6

；
（2）由同角三角函数的基本关系可得cos（2α-

π

3

）=

33

6

，代入cos2α=cos[（2α-

π

3

）+

π

3

]=

1

2

cos（2α-

π

3

）-

3

2

sin（2α-

π

3

）计算可得．

解答： 解：（1）∵sin²α+

3

sinαcosα-2cos²α=0，
∴

1-cos2α

2

+

3

2

sin2α-2•

1+cos2α

2

=0
∴

3

2

sin2α-

3

2

cos2α=

1

2

，即

3

sin（2α-

π

3

）=

1

2

∴sin（2α-

π

3

）=

3

6

；
（2）由（1）知sin（2α-

π

3

）=

3

6

，又α∈（

π

6

，

5

12

π），
∴cos（2α-

π

3

）=

1-sin2(2α- π 3 )

=

33

6

∴cos2α=cos[（2α-

π

3

）+

π

3

]=

1

2

cos（2α-

π

3

）-

3

2

sin（2α-

π

3

）
=

1

2

×

33

6

-

3

2

×

3

6

=

33 -3

12

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系和二倍角公式，属中档题．