Question

已知函数f（x）=（1-sin2ωx）•tan（

π

4

+ωx），（ω＞0）其图象上相邻的两个最高点之间的距离为π．
（I）求f（x+

π

12

）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最小值，并求出此时x的值；
（Ⅱ）若α∈（

5π

12

，

π

2

），f（α+

π

3

）=

1

3

，求sin2α的值．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（I）将函数进行化简，求出f（x+

π

12

）的表达式，根据三角函数的图象和性质即可求出在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最小值，并求出此时x的值；
（Ⅱ）根据三角函数的公式关系以及两角和与差的正弦公式即可即可求sin2α的值．

解答： 解：（I）f（x）=（1-sin2ωx）•tan（

π

4

+ωx）=cos²ωx-sin²ωx=cos2ωx，
∵函数f（x）图象上相邻的两个最高点之间的距离为π，
∴函数的周期T=π，即

2π

2ω

=2，则ω=1，
即f（x）=cos2x，f（x+

π

12

）=cos（2x+

π

6

），
∵x∈[-

π

6

，

π

4

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，
∴当2x+

π

6

=

2π

3

，即x=

π

4

时，函数f（x）取得最小；
（Ⅱ）f（α+

π

3

）=cos[2（α+

π

3

）]=cos（2α+

2π

3

）=-cos（2α-

π

3

）=

1

3

，
∴cos（2α-

π

3

）=-

1

3

，
若α∈（

5π

12

，

π

2

），则2α-

π

3

∈(

π

2

，

2π

3

)，
则sin（2α-

π

3

）=

2 2

3

，
则sin2α=sin[2α-

π

3

+

π

3

]=sin（2α-

π

3

）cos

π

3

+cos（2α-

π

3

）sin

π

3

2 2

3

•

1

2

+(-

1

3

)•

3

2

=

2 2 - 3

6

．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质以及两角和与差的正弦公式的应用，综合考查公式的应用．