Question

【题目】已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为正三角形，E，F分别是A1C1 ， B1C1上的点，且满足A1E=EC1 ， B1F=3FC1 ．
（1）求证：平面AEF⊥平面BB1C1C；
（2）设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长均相等，求二面角C1﹣AE﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取B1C1的中点G，连结A1G，

∵B1F=3FC1，FG=FC1，∴EF∥A1G，

在等边△A1B1C1中，由G是B1C1的中点，知A1G⊥B1C1，

∴EF⊥B1C1，

∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直棱柱，∴BB1⊥平面A1B1C1，

又∵EF平面A1B1C1，∴BB1⊥EF，

∵BB1∩B1C1=B1，∴EF⊥平面BB1C1C，

又EF平面AEF，∴平面AEF⊥平面BB1C1C

（2）解：以A为坐标原点，以AA1，AC分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱均为2，则A（0，0，0），B（ ），E（0，1，2），

∴ =（0，1，2）， =（ ），

设 =（x，y，z）是平面ABE的一个法向量，

由 ，取x=﹣2，得 =（﹣2，2 ，﹣ ），

平面AEC1的一个法向量 =（1，0，0），

设二面角C1﹣AE﹣B的平面角为θ，

则cosθ= = ．

∴二面角C1﹣AE﹣B的余弦值为 ．

【解析】（1）取B1C1的中点G，连结A1G，推导出EF∥A1G，A1G⊥B1C1，从而EF⊥B1C1，由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直棱柱，得到BB1⊥EF，从而EF⊥平面BB1C1C，由此能证明平面AEF⊥平面BB1C1C．（2）以A为坐标原点，以AA1，AC分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C1﹣AE﹣B的余弦值．
【考点精析】利用平面与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．