Question

【题目】如图1所示，在边长为24的正方形中，点在边上，且， ，作分别交、于点，作分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱.

（1）求证： 平面；

（2）求多面体的体积.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)416.

【解析】试题分析：

(1)由题意可证得AB⊥BC，AB⊥BB1，利用线面垂直的判定定理即可证得AB⊥平面BCC1B1.

(2)利用多面体的几何特征可得多面体A1B1C1－APQ的体积V＝VABC－A1B1C1－VA－CQPB＝416

试题解析：

(1)由题知，在图2中，AB＝6，BC＝8，CA＝10，

∴AB2＋BC2＝CA2，∴AB⊥BC.

又∵AB⊥BB1，BC∩BB1＝B，∴AB⊥平面BCC1B1.

(2)由题易知三棱柱ABC－A1B1C1的体积为×6×8×24＝576.

∵在图1中，△ABP和△ACQ都是等腰直角三角形，

∴AB＝BP＝6，AC＝CQ＝14，

∴VA－CQPB＝×S四边形CQPB×AB＝××(6＋14)×8×6＝160.

∴多面体A1B1C1－APQ的体积V＝VABC－A1B1C1－VA－CQPB＝576－160＝416