Question

已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2bcosC+c=2a
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若a=2，且sin（2A+

π

6

）+cos2A=

3

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简，整理后求出cosB的值，即可确定出B；
（Ⅱ）运用两角和的正弦公式，化简即可求得角A，进而得到角C，再由正弦定理得到b，运用三角形的面积公式S=

1

2

absinC，即可得到所求值．

解答： 解：（Ⅰ）2bcosC+c=2a，
即有2bcosC=2a-c，
利用正弦定理化简得：
2sinBcosC=2sinA-sinC=2sin（B+C）-sinC
=2sinBcosC+2cosBsinC-sinC，
整理得：2cosBsinC-sinC=0，
∵sinC≠0，∴cosB=

1

2

，
则B=

π

3

；
（Ⅱ）sin（2A+

π

6

）+cos2A=

3

2

，
即有

3

2

sin2A+

1

2

cos2A+cos2A=

3

2

，
即

1

2

sin2A+

3

2

cos2A=

1

2

，
即为sin（2A+

π

3

）=

1

2

，（0＜A＜

2π

3

），
即有2A+

π

3

=

5π

6

，解得，A=

π

4

，
C=π-

π

4

-

π

3

=

5π

12

，
由正弦定理，可得，

2

sin π 4

=

b

sin π 3

，
解得，b=

6

．
则△ABC的面积为

1

2

absinC=

1

2

×2×

6

×

6 + 2

4

=

3+ 3

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，面积公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．