Question

（2011•武汉模拟）在棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，长为2的线段的一个端点M在棱DD₁上，另一个端点N在底面ABCD内，则MN的中点P的轨迹是

以D为中心，半径为1的球的

1

8

，它与有公共顶点D的正方体的三个面所围成的几何体的体积是

π

6

．

Answer 1

分析：根据题意，连接N点与D点，得到一个直角三角形△NMD，P为斜边MN的中点，所以|PD|的长度不变，进而得到点P的轨迹是球面的一部分，然后利用球的体积公式进行求解．

解答：解：如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，连接N点与D点，由ND，DM，MN构成一个直角三角形，
设P为MN的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得DP=

1

2

MN=1，
不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．
∴MN的中点P的轨迹是
不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．
故P点的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的

1

8

球面积．
体积为

1

8

×

4

3

π×13=

π

6

．
故答案为：以D为中心，半径为1的球的

1

8

，

π

6

．

点评：本题主要考查点的轨迹方程的判断，考查球的体积公式，综合性较强．