【题目】选修4-5 不等式选讲
已知函数.
(1)若不等式的解集为,求实数的值;
(2)在(1)的条件下,若,使得,求实数的取值范围.
【答案】(1)3(2)
【解析】试题分析:(1)由不等式,求得 .再根据不等式的解集为 可得 ,且,由此求得的值.
(2)由题意可得 的最小值小于,求出的范围即可.
试题解析:(1)不等式f(x)≤4,即|x﹣a|≤4,即﹣4≤x﹣a≤4,求得 a﹣4≤x≤a+4.
再根据不等式f(x)≤4的解集为{x|﹣1≤x≤7},可得a﹣4=﹣1,且a+4=7,求得 a=3.
(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)<4m成立,即|x﹣3|+|x+2|<4m成立,
故(|x﹣3|+|x+2|)min<4m,
而|x﹣3|+|x+2|≥|(x﹣3)+(﹣x﹣2)|=5,
∴4m>5,解得:m>,
即m的范围为(,+∞).
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【题目】在某次测量中得到的A样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A.众数
B.平均数
C.中位数
D.标准差
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【题目】如图,在正四棱锥S﹣ABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论:①EP⊥AC;②EP∥BD;③EP∥面SBD;④EP⊥面SAC.中恒成立的为( )
A.①③
B.③④
C.①②
D.②③④
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【题目】设函数f(x)=ex﹣ax﹣2.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x﹣k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.
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【题目】某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数(AQI)的监测数据,结果统计如表:
API | [0,50] | (50,100] | (100,150] | (150,200] | (200,300] | >300 |
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 |
天数 | 6 | 14 | 18 | 27 | 20 | 15 |
(1)若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季,其中有8 天为严重污染.根据提
供的统计数据,完成下面的2×2 列联表,并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的
空气严重污染与供暖有关”?
非重度污染 | 严重污染 | 合计 | |
供暖季 | |||
非供暖季 | |||
合计 | 100 |
(2)已知某企业每天的经济损失y(单位:元)与空气质量指数x 的关系式为y= 试估计该企业一个月(按30 天计算)的经济损失的数学期望.
参考公式:K2=
P(K2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a2=b(b+c).
(1)求证:∠A=2∠B;
(2)若a= b,判断△ABC的形状.
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