Question

【题目】证明与化简．
（1）求证：cotα=tanα+2cot2α；
（2）请利用（1）的结论证明：cotα=tanα+2tan2α+4cot4α；
（3）请你把（2）的结论推到更一般的情形，使之成为推广后的特例，并加以证明：
（4）化简：tan5°+2tan10°+4tan20°+8tan50°．

Answer 1

【答案】
（1）证明：tanα+2cot2α=tanα+

=tanα+2×

=tanα+ ﹣tanα

=cotα，

∴cotα=tanα+2cot2α．

（2）证明：∵cotα=tanα+2cot2α，

∴tanα+2tan2α+4cot4α

=cotα﹣2cot2α+2cos2α﹣4cot4α+4cot4α

=cotα，

∴cotα=tanα+2tan2α+4cot4α

（3）证明：一般地，cotα=tanα+2tan2α+22tan22α+…+2n﹣1tan2n﹣1α+2ncot2nα，n∈N*．

证明：∵cotα=tanα+2cot2α，∴cot2α=tan2α+2cot4α，

∴cotα=tanα+2tan2α+4cot4α=tanα+2tan2α+22cot22α，

以此类推得cotα=tanα+2tan2α+22tan22α+…+2n﹣1tan2n﹣1α+2ncot2nα，n∈N*

（4）解：tan5°+2tan10°+4tan20°+8tan50°

=tan5°+2tan10°+4tan20°+8cot40°

=cot5°．

【解析】（1）tanα+2cot2α=tanα+2× ，由此能证明cotα=tanα+2cot2α．（2）由cotα=tanα+2cot2α，得到tanα+2tan2α+4cot4α=cotα﹣2cot2α+2cos2α﹣4cot4α+4cot4α，由此能证明cotα=tanα+2tan2α+4cot4α．（3）一般地，cotα=tanα+2tan2α+22tan22α+…+2n﹣1tan2n﹣1α+2ncot2nα，n∈N* ． 再由合情推量进行证明．（4）利用（3）的一般结论直接化简．